Про теорему Каратеодорі для одного класу відображень
DOI:
https://doi.org/10.37069/3154-8229-2026-40-2Ключові слова:
межова поведінка, класи Орлича-Соболєва, модулі сімей кривих, квазіконформні відображенняАнотація
Дана стаття присвячена дослідженню відображень класів Орлича-Соболєва, які не є замкненими. Іншими словами, ми досліджуємо випадок, коли відображення є відкритими, дискретними та не зберігають межу області (тобто, відповідна множина точок накопичення відображення може містити в собі внутрішні точки відображеної області). Нами досліджено питання про наявність границі у таких відображень у фіксованій точці межі. Нами встановлено, що такі відображення мають неперервне межове продовження, якщо відповідна функція Орлича задовольняє умову Кальдерона, а внутрішня дилатація відображення задовольняє деякі обмеження на зростання, записані в термінах сингулярних параметрів. При цьому, ми також накладаємо умови на область, в якій задане відображення. Зокрема, ця область має бути локально зв' язною на межі і одночасно скінченно зв'язною по відношенню до прообразу множини точок накопичення. Такий підхід пов'язаний передусім з виконанням у класах Орлича-Соболєва модульних нерівностей типу Полецького. Наявні факти про виконання таких нерівностей вимагають, щоб відображення було або гомеоморфізмом, або більш загально, відкритим дискретним і замкненим відображенням. Якщо ж ми розглядаємо більш загальні класи відображень, ми не можемо напряму скористатися апаратом модулів. Тим не менш, умови на множину точок накопичення гарантують можливість зведення дослідження відображень у довільній області до дослідження відображень, визначених в деякій підобласті, де відображення вже є замкненим. Робота побудована наступним чином. У першій частині ми формулюємо відповідні означення, необхідні для наведення основного результату, та наводимо це формулювання. Другий розділ присвячений модулю сімей кривих та поверхонь. Тут ми формулюємо, зокрема, твердження про зв'язок класів Орлича-Соболєва з верхніми модульними нерівностями типу Полецького. Третя частина роботи - це доведення основного результату, теореми 1. Доведення відбувається методом від супротивного. Основним інструментом доведення є апарат кривих. Ми будуємо криві у прообразі при відображенні, діаметр яких прямує до нуля. Кінці кривої -- це елементи послідовностей точок, збіжних до даної точки межі. Якщо відображення не має границі, діаметр відображених кривих до нуля не прямує. Ми показуємо, що останнє суперечить як геометрії області визначення, так і оцінкам зростання дилатацій відображень.
Посилання
Desyatka, V., & Sevost'yanov, E. (2025). On boundary-non-preserving mappings with Poletsky inequality. Canadian Mathematical Bulletin, 68(3), 834–855. https://doi.org/10.4153/S0008439525000141
Sevost'yanov, E. (2016). On boundary behavior of mappings of Sobolev and Orlicz–Sobolev class. arXiv preprint arXiv:1601.03762. https://doi.org/10.48550/arXiv.1601.03762
Rado, T., & Reichelderfer, P. V. (1955). Continuous transformations in analysis. Springer.
Saks, S. (1964). Theory of the integral. Dover Publications.
Gehring, F.W. (1962). Rings and quasiconformal mappings in space. Transactions of the American Mathematical Society, 103, 353–393. https://doi.org/10.2307/1993834
Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U., & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. Springer.
Sevost'yanov, E. (2023). Mappings with direct and inverse Poletsky inequalities (Developments in Mathematics, Vol. 78). Springer Nature Switzerland.
Martio, O., Rickman, S., & Väisälä, J. (1971). Topological and metric properties of quasiregular mappings. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A I Mathematica, 488, 1–31. https://doi.org/10.5186/aasfm.1971.488
Vuorinen, M. (1976). Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in $n$-space. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A I. Mathematica Dissertationes, 11, 1–44.
Kuratowski, K. (1968). Topology (Vol. 2). Academic Press.
Martio, O., & Srebro, U. (1975). Periodic quasimeromorphic mappings. Journal d'Analyse Mathématique, 28, 20–40.
Salimov, R.R. (2017). Metric properties of Orlicz–Sobolev classes. Journal of Mathematical Sciences, 220(5), 633–642. https://doi.org/10.1007/s10958-016-3206-2
