Метод прискореної збіжності Хейлі у випадку нелінійної періодичної крайової задачі для рівняння Релея
DOI:
https://doi.org/10.37069/3154-8229-2026-40-7Ключові слова:
слабконелінійна періодична крайова задача, періодична задача для рівняння Релея, метод Хейлі, рівняння коливань маятникаАнотація
Дослідження слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, диференціально-алгебраїчних та функціонально-диференціальних рівнянь – традиційний напрям для Київської школи нелінійних коливань. У статті досліджено слабконелінійну періодичну крайову задачу для звичайного диференціального рівняння, зокрема нелінійну періодичну задачу для рівняння Релея. Запропоновано два підходи до побудови наближень до періодичного розв'язку поставленої задачі, які ґрунтуються на використанні традиційного метода Ньютона, а також методу прискореної збіжності Хейлі. Продемонстрозано переваги використання методу прискореної збіжності Хейлі у порівнянні з класичним методом Ньютона, зокрема, методи Ньютона та Ньютона–Канторовича мають квадратичну збіжність, в той час, як метод прискореної збіжності Хейлі за певних умов має кубічну збіжність. Встановлено умови існування єдиного періодичного розв'язку поставленої задачі для рівняння Релея, а також отримано умови збіжності побудованої ітераційної схеми з використанням методу Хейлі. При отриманні умов існування єдиного періодичного розв'язку поставленої задачі для рівняння Релея суттєво використовуються конструкції узагальненого оператора Гріна періодичної крайової задачі, побудована А.М. Самойленком та О.А. Бойчуком. При знаходженні умов збіжності побудованої ітераційної схеми для нелінійної періодичної задачі для рівняння Релея використовується умова стиснення для оператора, який відповідає операторній системі, еквівалентній до періодичної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння, зокрема нелінійної періодичної задачі для рівняння Релея. На відміну від традиційної техніки лінеаризації крайових задач, отримані наближення до розв'язку періодичної задачі для рівняння Релея є періодичними. Ефективність розробленого підходу продемонстровано на прикладі періодичної крайової задачі для рівняння коливань маятника зі збуренням, яка на відміну від традиційних слабконелійних крайових задач, є нелінійною.
Посилання
Boichuk, A.A., & Samoilenko, A.M. (2016). Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems (2nd ed.). De Gruyter. https://doi.org/10.1515/9783110378443
Boichuk, O.A., & Chuiko, S.M. (2023). Constructive methods for the analysis of boundary value problems in the theory of nonlinear oscillations. Naukova Dumka. https://doi.org/10.37863/6581477912-64
Albert, A.E. (1972). Regression and the Moore–Penrose pseudo-inverse. Academic Press.
Kantorovich, L.V., & Akilov, G.P. (1964). Funktionalanalysis in normierten Räumen. Akademie Verlag.
Galantai, A. (2000). The theory of Newton's method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 124, 25–44. https://doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00435-0
Boichuk, A.A., & Chuiko, S.M. (2021). On approximate solutions of nonlinear boundary-value problems by the Newton–Kantorovich method. Journal of Mathematical Sciences, 258(5), 594–617. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05569-y
Apostol, T.M. (1961). Calculus (Vol. 1, 2nd ed.): One-variable calculus, with an introduction to linear algebra. John Wiley & Sons.
Brent, R.P. (1973). Algorithms for minimization without derivatives. Prentice-Hall.
Dekker, T.J. (1969). Finding a zero by means of successive linear interpolation. In Constructive aspects of the fundamental theorem of algebra. Wiley-Interscience.
Muller, D.E. (1956). A method for solving algebraic equations using an automatic computer. Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 10, 208–215.
Albeanu, G. (2008). On the generalized Halley method for solving nonlinear equations. ROMAI Journal, 4(2), 1–6.
Chuiko, S., & Nesmelova, O. (2024). Periodic boundary-value problem for a Rayleigh-type equation unsolved with respect to the derivative. Ukrainian Mathematical Journal, 75(10), 1621–1633. https://doi.org/10.1007/s11253-024-02282-2
Ridders, C. (1979). A new algorithm for computing a single root of a real continuous function. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 26(11), 979–980. https://doi.org/10.1109/TCS.1979.1084599
Alefeld, G. (1981). On the convergence of Halley's method. The American Mathematical Monthly, 88(7), 530–536.
Cordero, A., Torregrosa, J.R., & Vindel, P. (2013). Dynamics of a family of Chebyshev–Halley type methods. Applied Mathematics and Computation, 219(16), 8568–8583. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.02.042
Zaitsev, V.F., & Polyanin, A.D. (2018). Handbook of ordinary differential equations: Methods and problems. CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781315117638
Boichuk, A.A. (1998). Nonlinear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. Ukrainian Mathematical Journal, 50(2), 186–195. https://doi.org/10.1007/BF02513444
Shlapak, Yu.D. (1974). Periodic solutions of nonlinear second-order equations which are not solved for the highest derivative. Ukrainian Mathematical Journal, 26(6), 850–854.
Shlapak, Yu.D. (1975). Periodic solutions of a linear system of differential equations with a singular matrix. Ukrainian Mathematical Journal, 27(1), 137–140.
Safronov, O., Semon, B., Nedilko, O., & Bodryk, Yu. (2022). Mathematical models of transonic flutter of aerodynamic control surfaces of supersonic aircraft. Advances in Military Technology, 17(2), 195–209. https://doi.org/10.3849/aimt.01543
Torzhevsky, A.P. (1964). Periodic solutions of the equation of plane oscillations of a satellite in an elliptical orbit. Space Research, 2(5), 667–678.
